[Matematica] Le funzioni

Le funzioni in generale
Il concetto di funzione e', si puo' dire, il concetto piu' importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilita' di una funzione e' appunto di mostrare il legame che esiste fra cose diverse
Fra tutte le definizioni di funzioni io preferisco questa che e' stata scelta da un gruppo di persone (fra cui io) in occasione di un corso abilitante seguendo la definizione di Dirichlet:
Si definisce funzione y della variabile x un legame fra due variabili, una detta variabile indipendente x e l'altra detta variabile dipendente y tali che abbiano senso le operazioni da effettuare sulla x per ottenere i valori della y e per ogni valore della x corrisponda un solo valore della y
y=f(x)

Le funzioni tra sistemi

Intuitivamente si ha una funzione quando si riesce a stabilire un legame tra due insiemi diversi in modo che ad elementi del primo insieme corrispondano elementi del secondo insieme.

La definizione matematica e':
"Dati due insiemi non vuoti A e B si chiama applicazione univoca (o funzione) di A in B una qualsiasi legge che faccia corrispondere ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B"

chiamando f l'applicazione si scrive
f : A --> B
Si legge f e' applicazione da A a B

Il Dominio di una Funzione
Ora per analogia consideriamo l'insieme dei valori che l'applicazione puo' assumere sull'insieme A (in pratica consideriamo l'insieme A) questo verra' definito:
Dominio dell'applicazione
Antiimmagine
Insieme di esistenza
Insieme di definizione

In generale avremo la definizione
Dati due insiemi non vuoti A e B e l'applicazione
f : A --> B
si chiama dominio dell'applicazione l'insieme degli elementi di A su cui agisce l'applicazione

*In pratica nelle applicazioni su insiemi il dominio coincide con l'insieme stesso; invece sara' importante la definizione di dominio con insiemi infiniti, ad esempio in Analisi quando dovremo considerare funzioni tipo radicali, frazioni e logaritmi nell'insieme R dei numeri reali

Il Codominio di una Funzione
Siccome nella definizione di funzione esauriamo l'insieme A ma non e' detto che esauriamo l'insieme B diventa importante definire quanta parte dell'insieme B entri a far parte dell'applicazione

In figura vedi che l'insieme A viene trasformato dall'applicazione nel sottoinsieme C di B
Allora chiameremo C:
Codominio
Immagine di A mediante l'applicazione
Trasformato di A

In generale avremo la definizione
Dati due insiemi non vuoti A e B e l'applicazione
f : A --> B
si chiama codominio dell'applicazione l'insieme degli elementi di B che provengono da elementi di A tramite l'applicazione

Applicazioni Iniettive
Diremo che un'applicazione
f : A --> B
e' iniettiva se ad ogni elemento di A corrisponde un elemento diverso di B


Esempio di applicazione iniettiva: ogni elemento di A e' in corrispondenza con un diverso elemento di B


Esempio di applicazione non iniettiva: esistono due elementi di A a cui corrisponde lo stesso elemento di B


Applicazioni Suriettive
Diremo che un'applicazione
f : A --> B
e' suriettiva se esaurisce l'insieme B

esempio di applicazione suriettiva: ogni elemento di B e' collegato con almeno un elemento di A


esempio di applicazione non suriettiva: esistono elementi di B non collegati ad elementi di A


Applicazioni Biiettive
Diremo che un'applicazione
f : A --> B
e' una corrispondenza biunivoca (od un applicazione biiettiva ) se e' contemporaneamente
Iniettiva
Suriettiva

In pratica significa che ad ogni elemento di A corrisponde un solo elemento di B e ad ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di di A, cioe' la relazione e' iniettiva sia da A a B che a rovescio da B ad A (si dice biiettiva)

esempio di corrispondenza biunivoca: ogni elemento di A e' collegato con un solo elemento di B e l'insieme B viene esaurito (od anche ogni elemento di B e' collegato con un solo elemento di A)


In matematica la corrispondenza biunivoca e' importantissima perche' tutte le proprieta' matematiche di un insieme A sono valide anche in tutti gli insiemi che possono essere messi in corrispondenza bunivoca con A.

*Un esempio abbastanza semplice di corrispondenza biunivoca in un' aula scolastica e' quello fra ogni alunno della classe ed il suo banco: ad ogni alunno corrisponde il suo banco e ad ogni banco corrisponde il suo alunno; la corrispondenza non e' biunivoca il giorno che l'alunno Pierino marina la scuola mentre e' biunivoca quando tutti gli alunni sono presenti

Funzioni Pari e Dispari
Una funzione è pari se f(-x) = f(x), mentre è dispari se f(-x) = -f(x). Allora basta andare a sostituire -x a x e vedere che cosa succede.
Ad esempio, prendiamo f(x) = x^2+3. Se mettiamo -x al posto di x, abbiamo f(-x)=(-x)^2+3=x^2+3. f(x)=f(-x), per cui la funzione è pari.
Se invece abbiamo f(x) = x^3-x, risulta f(-x)=(-x)^3+x=-x^3+x.
f(x)=-f(-x), allora la funzione è dispari.
Molte funzioni non sono né pari né dispari.

In un grafico, possiamo facilmente individuare e chiarire se una funzione è pari o dispari:
-PARI: La funzione è SIMMETRICA rispetto alle X
-DISPARI: La funzione è SIMMETRICA rispetto alle Y

Funzioni Crecenti e Decrescenti
y = f(x) è crescente nell' intervallo [a, b]
se per tutti i punti dell'intervallo da
x1 < x2 segue f(x1) < f(x2)

y=f(x) è decrescente nell' intervallo [a, b]
se per tutti i punti dell'intervallo da
x1 < x2 segue f(x1) > f(x2)

In altre parole:
CRESCENTE se all'aumentare del valore di x anche il valore di f(x) aumenta
DECRESCENTE se all'aumentare del valore di x il valore di f(x) diminuisce

E' importante precisare l'intervallo infatti la stessa funzione può essere crescente in un intervallo e decrescente in un altro intervallo di
valori di x:
Ad esempio f(x)=x^2 è crescente nell'intervallo [0,+infinito) infatti a valori crescenti di x corrispondono valori crescenti di f(x) x=0,f(x)=0;x=1,f(x)=1; x=2,f(x)=4
La stessa funzione è decrescente nell'intervallo (-infinito,0]
x=-2,f(x)=4;x=-1 f(x)=1; x=1/2 f(x)=1/4; x=0 f(x)=0

N.B. Ho messo CRESCENTE e DECRESCENTE per intervalli o solo minori, o solo maggiori, ma tenete presente che l ho fatto per semplificare i concetti!
Una funzione è CRESCENTE se è x1 Minore o Uguale a x2
Una funzione è DECRESCENTE se x1 Maggiore o Uguale a x2
Altrimenti (solo minore o solo maggiore) la funzione si dice Strettamente Crescente o Strettamente Decrescente.

*Una funzione si dice Monotona quando mantiene l'ordinamento tra insiemi ordinati (cresce solo oppure decresce solo).

Funzioni Inverse
Una funzione si dice inversa di un'altra se si puo' ottenere la seconda funzione scambiando fra loro la x e la y e ricavando poi la y nella prima funzione

Esempio considerata la funzione
y = e x
per trovarne l'inversa scambio y con x
x = e y
poi devo ricavare la y, siccome e' ad un esponente con e applico il logaritmo naturale a destra ed a sinistra dell'uguale
log x = log (e y)
logarimo ed esponenziale si elidono
log x = y
y = log x
quindi la funzione inversa di y = e x e' y = log x intendendo con log x il logaritmo naturale di x
Quando abbiamo due funzioni una inversa dell'altra il grafico della seconda si puo' ottenere dal grafico della prima ribaltandolo attorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Nell'esempio:
in blu la funzione y = e x
in rosso la sua inversa y = log x
ed in verde la bisettrice y = x del primo e terzo quadrante

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Materiale preso da:


Edited by {&l Nìñ0} - 15/11/2012, 19:51

Mitico Ninuzzo, ben fatto ^^

Aggiornata con le varie applicazioni

Io aspetto il voto del compito sulle funzioni,equazioni letterali ecc. speriamo bene XD

Se ti serve qualcosa chiedi ;

Oh... le funzioni. (?) XD

Aggiornate